9x^2+42x=15 Denklemini Çözme

$$9 x ^ { 2 } + 42 x = 15$$

x için çözün

$$x=-5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 15 sayısını çıkarın.

$$9x^{2}+42x-15=0$$

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$3x^{2}+14x-5=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3x^{2}+ax+bx-5 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=14 ab=3\left(-5\right)=-15$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -15 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,15 -3,5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Çözüm, 14 toplamını veren çifttir.

$$a=-1 b=15$$

3x^{2}+14x-5 ifadesini \left(3x^{2}-x\right)+\left(15x-5\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(15x-5\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(3x-1\right)+5\left(3x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x-1\right)\left(x+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x-1=0 ve x+5=0 çözün.

$$x=\frac{1}{3} x=-5$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$9x^{2}+42x=15$$

Denklemin her iki tarafından 15 çıkarın.

$$9x^{2}+42x-15=15-15$$

15 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$9x^{2}+42x-15=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 9, b yerine 42 ve c yerine -15 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\times 9\left(-15\right)}}{2\times 9}$$

42 sayısının karesi.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-4\times 9\left(-15\right)}}{2\times 9}$$

-4 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-36\left(-15\right)}}{2\times 9}$$

-36 ile -15 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764+540}}{2\times 9}$$

540 ile 1764 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-42±\sqrt{2304}}{2\times 9}$$

2304 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-42±48}{2\times 9}$$

2 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-42±48}{18}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-42±48}{18} denklemini çözün. 48 ile -42 sayısını toplayın.

$$x=\frac{6}{18}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{6}{18} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-42±48}{18} denklemini çözün. 48 sayısını -42 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{90}{18}$$

-90 sayısını 18 ile bölün.

$$x=-5$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1}{3} x=-5$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$9x^{2}+42x=15$$

Her iki tarafı 9 ile bölün.

$$\frac{9x^{2}+42x}{9}=\frac{15}{9}$$

9 ile bölme, 9 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{42}{9}x=\frac{15}{9}$$

3 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{42}{9} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{15}{9}$$

3 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{15}{9} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{5}{3}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{14}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{7}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{7}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

\frac{7}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{5}{3}+\frac{49}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{5}{3} ile \frac{49}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{64}{9}$$

Faktör x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{7}{3}=\frac{8}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{8}{3}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{7}{3} çıkarın.

$$x=\frac{1}{3} x=-5$$