9x^2+30x+25=0 Denklemini Çözme

$$9 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

x için çözün

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 9x^{2}+ax+bx+25 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=30 ab=9\times 25=225$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 225 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,225 3,75 5,45 9,25 15,15$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+225=226 3+75=78 5+45=50 9+25=34 15+15=30$$

Çözüm, 30 toplamını veren çifttir.

$$a=15 b=15$$

9x^{2}+30x+25 ifadesini \left(9x^{2}+15x\right)+\left(15x+25\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(9x^{2}+15x\right)+\left(15x+25\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 3x çarpanlarına ayırın.

$$3x\left(3x+5\right)+5\left(3x+5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x+5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x+5\right)\left(3x+5\right)$$

İki terimli kare olarak yazın.

$$\left(3x+5\right)^{2}$$

Denklemin çözümünü bulmak için 3x+5=0 ifadesini çözün.

$$x=-\frac{5}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$9x^{2}+30x+25=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 9, b yerine 30 ve c yerine 25 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

30 sayısının karesi.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

-4 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

-36 ile 25 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

-900 ile 900 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-30±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

0 sayısının karekökünü alın.

$$x=-\frac{30}{2\times 9}$$

2 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=-\frac{30}{18}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-30}{18} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$9x^{2}+30x+25=0$$

Denklemin her iki tarafından 25 çıkarın.

$$9x^{2}+30x+25-25=-25$$

25 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$9x^{2}+30x=-25$$

Her iki tarafı 9 ile bölün.

$$\frac{9x^{2}+30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

9 ile bölme, 9 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{30}{9}x=-\frac{25}{9}$$

3 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{30}{9} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{10}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{5}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{5}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

\frac{5}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{25}{9} ile \frac{25}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Faktör x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{5}{3}=0 x+\frac{5}{3}=0$$

Denklemin her iki tarafından \frac{5}{3} çıkarın.

$$x=-\frac{5}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Denklem çözüldü. Çözümleri aynı.

$$x=-\frac{5}{3}$$