9n^2-23n+20=3n^2 Denklemini Çözme

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

n için çözün

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 3n^{2} sayısını çıkarın.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

9n^{2} ve -3n^{2} terimlerini birleştirerek 6n^{2} sonucunu elde edin.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 6n^{2}+an+bn+20 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 120 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Çözüm, -23 toplamını veren çifttir.

$$a=-15 b=-8$$

6n^{2}-23n+20 ifadesini \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -4 3n çarpanlarına ayırın.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2n-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2n-5=0 ve 3n-4=0 çözün.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Her iki taraftan 3n^{2} sayısını çıkarın.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

9n^{2} ve -3n^{2} terimlerini birleştirerek 6n^{2} sonucunu elde edin.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 6, b yerine -23 ve c yerine 20 değerini koyarak çözün.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

-23 sayısının karesi.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

-4 ile 6 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

-24 ile 20 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

-480 ile 529 sayısını toplayın.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

49 sayısının karekökünü alın.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

-23 sayısının tersi: 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

2 ile 6 sayısını çarpın.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak n=\frac{23±7}{12} denklemini çözün. 7 ile 23 sayısını toplayın.

$$n=\frac{30}{12}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{30}{12} kesrini sadeleştirin.

$$n=\frac{5}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak n=\frac{23±7}{12} denklemini çözün. 7 sayısını 23 sayısından çıkarın.

$$n=\frac{16}{12}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{16}{12} kesrini sadeleştirin.

$$n=\frac{4}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Her iki taraftan 3n^{2} sayısını çıkarın.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

9n^{2} ve -3n^{2} terimlerini birleştirerek 6n^{2} sonucunu elde edin.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Her iki taraftan 20 sayısını çıkarın. Bir sayı sıfırdan çıkarılırsa sonuç o sayının negatifine eşit olur.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Her iki tarafı 6 ile bölün.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

6 ile bölme, 6 ile çarpma işlemini geri alır.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-20}{6} kesrini sadeleştirin.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{23}{6} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{23}{12} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{23}{12} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

-\frac{23}{12} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{10}{3} ile \frac{529}{144} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktör n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Sadeleştirin.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{23}{12} ekleyin.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$