9a^2+24a+16=0 Denklemini Çözme

$$9 a ^ { 2 } + 24 a + 16 = 0$$

a için çözün

$$a = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 9a^{2}+aa+ba+16 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=24 ab=9\times 16=144$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 144 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Çözüm, 24 toplamını veren çifttir.

$$a=12 b=12$$

9a^{2}+24a+16 ifadesini \left(9a^{2}+12a\right)+\left(12a+16\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(9a^{2}+12a\right)+\left(12a+16\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 4 3a çarpanlarına ayırın.

$$3a\left(3a+4\right)+4\left(3a+4\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3a+4 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3a+4\right)\left(3a+4\right)$$

İki terimli kare olarak yazın.

$$\left(3a+4\right)^{2}$$

Denklemin çözümünü bulmak için 3a+4=0 ifadesini çözün.

$$a=-\frac{4}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$9a^{2}+24a+16=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 9, b yerine 24 ve c yerine 16 değerini koyarak çözün.

$$a=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

24 sayısının karesi.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

-4 ile 9 sayısını çarpın.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-36\times 16}}{2\times 9}$$

-36 ile 16 sayısını çarpın.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-576}}{2\times 9}$$

-576 ile 576 sayısını toplayın.

$$a=\frac{-24±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

0 sayısının karekökünü alın.

$$a=-\frac{24}{2\times 9}$$

2 ile 9 sayısını çarpın.

$$a=-\frac{24}{18}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-24}{18} kesrini sadeleştirin.

$$a=-\frac{4}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$9a^{2}+24a+16=0$$

Denklemin her iki tarafından 16 çıkarın.

$$9a^{2}+24a+16-16=-16$$

16 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$9a^{2}+24a=-16$$

Her iki tarafı 9 ile bölün.

$$\frac{9a^{2}+24a}{9}=-\frac{16}{9}$$

9 ile bölme, 9 ile çarpma işlemini geri alır.

$$a^{2}+\frac{24}{9}a=-\frac{16}{9}$$

3 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{24}{9} kesrini sadeleştirin.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a=-\frac{16}{9}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{8}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{4}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{4}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

\frac{4}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}=\frac{-16+16}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{16}{9} ile \frac{16}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}=0$$

Faktör a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}=0$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sadeleştirin.

$$a+\frac{4}{3}=0 a+\frac{4}{3}=0$$

Denklemin her iki tarafından \frac{4}{3} çıkarın.

$$a=-\frac{4}{3} a=-\frac{4}{3}$$

Denklem çözüldü. Çözümleri aynı.

$$a=-\frac{4}{3}$$