9x^2-30x+25=0 Denklemini Çözme

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

x için çözün

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 9x^{2}+ax+bx+25 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 225 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Çözüm, -30 toplamını veren çifttir.

$$a=-15 b=-15$$

9x^{2}-30x+25 ifadesini \left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

İlk grubu 3x, ikinci grubu -5 ortak çarpan parantezine alın.

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

İki terimli kare olarak yazın.

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

Denklemin çözümünü bulmak için 3x-5=0 ifadesini çözün.

$$x=\frac{5}{3}$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 9, b yerine -30 ve c yerine 25 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

-30 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

-4 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

-36 ile 25 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

-900 ile 900 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

0 sayısının karekökünü alın.

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

-30 sayısının tersi: 30.

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

2 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{30}{18}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{30}{18} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{5}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Denklemin her iki tarafından 25 çıkarın.

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

25 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$9x^{2}-30x=-25$$

Her iki tarafı 9 ile bölün.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

9 ile bölme, 9 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

3 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-30}{9} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{10}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{5}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{5}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

-\frac{5}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{25}{9} ile \frac{25}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

Denklemin her iki tarafına \frac{5}{3} ekleyin.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

Denklem çözüldü. Çözümleri aynı.

$$x=\frac{5}{3}$$