9x^2+14x-8=0 Denklemini Çözme

$$9 { x }^{ 2 } +14x-8=0$$

x için çözün

$$x=-2$$

$$x=\frac{4}{9}\approx 0,444444444$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 9x^{2}+ax+bx-8 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=14 ab=9\left(-8\right)=-72$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -72 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Çözüm, 14 toplamını veren çifttir.

$$a=-4 b=18$$

9x^{2}+14x-8 ifadesini \left(9x^{2}-4x\right)+\left(18x-8\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(9x^{2}-4x\right)+\left(18x-8\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 2 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(9x-4\right)+2\left(9x-4\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 9x-4 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(9x-4\right)\left(x+2\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 9x-4=0 ve x+2=0 çözün.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$9x^{2}+14x-8=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 9, b yerine 14 ve c yerine -8 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

14 sayısının karesi.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

-4 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-36\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

-36 ile -8 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 9}$$

288 ile 196 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 9}$$

484 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 9}$$

2 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-14±22}{18}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-14±22}{18} denklemini çözün. 22 ile -14 sayısını toplayın.

$$x=\frac{8}{18}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{8}{18} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{4}{9}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-14±22}{18} denklemini çözün. 22 sayısını -14 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{36}{18}$$

-36 sayısını 18 ile bölün.

$$x=-2$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$9x^{2}+14x-8=0$$

Denklemin her iki tarafına 8 ekleyin.

$$9x^{2}+14x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

-8 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$9x^{2}+14x=-\left(-8\right)$$

-8 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$9x^{2}+14x=8$$

Her iki tarafı 9 ile bölün.

$$\frac{9x^{2}+14x}{9}=\frac{8}{9}$$

9 ile bölme, 9 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x=\frac{8}{9}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{14}{9} sayısını 2 değerine bölerek \frac{7}{9} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{7}{9} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\left(\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{8}{9}+\left(\frac{7}{9}\right)^{2}$$

\frac{7}{9} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{8}{9}+\frac{49}{81}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{8}{9} ile \frac{49}{81} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{121}{81}$$

Faktör x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{121}{81}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{81}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{7}{9}=\frac{11}{9} x+\frac{7}{9}=-\frac{11}{9}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{7}{9} çıkarın.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$