81x^2+180x+100 Denklemini Çözme

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Çarpanlara Ayır

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Çözüm Adımları

İfadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle ifadenin 81x^{2}+ax+bx+100 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 8100 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

Çözüm, 180 toplamını veren çifttir.

$$a=90 b=90$$

81x^{2}+180x+100 ifadesini \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 10 9x çarpanlarına ayırın.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 9x+10 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

İki terimli kare olarak yazın.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Binomun Karesini Almanın Kullanıldığı Adımlar

Bu üç terimli ifade, bir üç terimli ifadenin karesi biçimindedir ve ortak çarpanla çarpılmış olabilir. Üç terimli ifadenin kareleri baştaki ve sondaki terimlerin kareköklerini bularak çarpanlara ayrılabilir.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Katsayıların en büyük ortak çarpanını bulun.

$$gcf(81,180,100)=1$$

81x^{2} başteriminin karekökünü bulun.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

100 son teriminin karekökünü bulun.

$$\sqrt{100}=10$$

Trinomun karesi, baştaki ve sondaki terimlerin kare köklerinin toplamı veya farkı olan binomun karesidir ve işareti, trinomun karesinin ortasındaki terimin işaretidir.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

İkinci dereceden polinomsal ifadeler ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) dönüşümü kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Burada x_{1} ve x_{2} ikinci dereceden ax^{2}+bx+c=0 denkleminin çözümleridir.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

180 sayısının karesi.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

-4 ile 81 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

-324 ile 100 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

-32400 ile 32400 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

0 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

2 ile 81 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Özgün ifadeyi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) kullanarak çarpanlarına ayırın. -\frac{10}{9} yerine x_{1}, -\frac{10}{9} yerine ise x_{2} koyun.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

p-\left(-q\right) biçimindeki tüm ifadeleri p+q biçiminde olacak şekilde sadeleştirin.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{10}{9} ile x sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{10}{9} ile x sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Payları paylarla ve paydaları paydalarla çarparak \frac{9x+10}{9} ile \frac{9x+10}{9} sayısını çarpın. Daha sonra kesri en küçük terime sadeleştirin.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

9 ile 9 sayısını çarpın.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

81 ve 81 sayılarını, bu sayıların en büyük ortak çarpanı olan 81 ile sadeleştirin.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Hesapla

$$\left(9x+10\right)^{2}$$