81x^2+90x+25 Denklemini Çözme

$$81 { x }^{ 2 } +90x+25$$

Çarpanlara Ayır

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Çözüm Adımları

İfadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle ifadenin 81x^{2}+ax+bx+25 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=90 ab=81\times 25=2025$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 2025 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

Çözüm, 90 toplamını veren çifttir.

$$a=45 b=45$$

81x^{2}+90x+25 ifadesini \left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)$$

İlk grubu 9x, ikinci grubu 5 ortak çarpan parantezine alın.

$$9x\left(9x+5\right)+5\left(9x+5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 9x+5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

İki terimli kare olarak yazın.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Binomun Karesini Almanın Kullanıldığı Adımlar

Bu üç terimli ifade, bir üç terimli ifadenin karesi biçimindedir ve ortak çarpanla çarpılmış olabilir. Üç terimli ifadenin kareleri baştaki ve sondaki terimlerin kareköklerini bularak çarpanlara ayrılabilir.

$$factor(81x^{2}+90x+25)$$

Katsayıların en büyük ortak çarpanını bulun.

$$gcf(81,90,25)=1$$

81x^{2} başteriminin karekökünü bulun.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

25 son teriminin karekökünü bulun.

$$\sqrt{25}=5$$

Trinomun karesi, baştaki ve sondaki terimlerin kare köklerinin toplamı veya farkı olan binomun karesidir ve işareti, trinomun karesinin ortasındaki terimin işaretidir.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

İkinci dereceden polinomsal ifadeler ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) dönüşümü kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Burada x_{1} ve x_{2} ikinci dereceden ax^{2}+bx+c=0 denkleminin çözümleridir.

$$81x^{2}+90x+25=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

90 sayısının karesi.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

-4 ile 81 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

-324 ile 25 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

-8100 ile 8100 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

0 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-90±0}{2\times 81}$$

2 ile 81 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-90±0}{162}$$

Özgün ifadeyi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) kullanarak çarpanlarına ayırın. -\frac{5}{9} yerine x_{1}, -\frac{5}{9} yerine ise x_{2} koyun.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)$$

p-\left(-q\right) biçimindeki tüm ifadeleri p+q biçiminde olacak şekilde sadeleştirin.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x+\frac{5}{9}\right)\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{5}{9} ile x sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{5}{9} ile x sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\times \frac{9x+5}{9}$$

Payları paylarla ve paydaları paydalarla çarparak \frac{9x+5}{9} ile \frac{9x+5}{9} sayısını çarpın. Daha sonra kesri en küçük terime sadeleştirin.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{9\times 9}$$

9 ile 9 sayısını çarpın.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{81}$$

81 ve 81 sayılarını, bu sayıların en büyük ortak çarpanı olan 81 ile sadeleştirin.

$$81x^{2}+90x+25=\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Hesapla

$$\left(9x+5\right)^{2}$$