8x^2-9x+1=0 Denklemini Çözme

$$8 x ^ { 2 } - 9 x + 1 = 0$$

x için çözün

$$x=\frac{1}{8}=0,125$$

$$x=1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 8x^{2}+ax+bx+1 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-9 ab=8\times 1=8$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 8 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-8 -2,-4$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Çözüm, -9 toplamını veren çifttir.

$$a=-8 b=-1$$

8x^{2}-9x+1 ifadesini \left(8x^{2}-8x\right)+\left(-x+1\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(8x^{2}-8x\right)+\left(-x+1\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -1 8x çarpanlarına ayırın.

$$8x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-1=0 ve 8x-1=0 çözün.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$8x^{2}-9x+1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 8, b yerine -9 ve c yerine 1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 8}}{2\times 8}$$

-9 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 8}}{2\times 8}$$

-4 ile 8 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 8}$$

-32 ile 81 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 8}$$

49 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 8}$$

-9 sayısının tersi: 9.

$$x=\frac{9±7}{2\times 8}$$

2 ile 8 sayısını çarpın.

$$x=\frac{9±7}{16}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{9±7}{16} denklemini çözün. 7 ile 9 sayısını toplayın.

$$x=\frac{16}{16}$$

16 sayısını 16 ile bölün.

$$x=1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{9±7}{16} denklemini çözün. 7 sayısını 9 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{2}{16}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{2}{16} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{8}$$

Denklem çözüldü.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$8x^{2}-9x+1=0$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$8x^{2}-9x+1-1=-1$$

1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$8x^{2}-9x=-1$$

Her iki tarafı 8 ile bölün.

$$\frac{8x^{2}-9x}{8}=-\frac{1}{8}$$

8 ile bölme, 8 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x=-\frac{1}{8}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{9}{8} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{9}{16} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{9}{16} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\left(-\frac{9}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(-\frac{9}{16}\right)^{2}$$

-\frac{9}{16} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{81}{256}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{1}{8} ile \frac{81}{256} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}=\frac{49}{256}$$

Faktör x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{16}\right)^{2}=\frac{49}{256}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{256}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{9}{16}=\frac{7}{16} x-\frac{9}{16}=-\frac{7}{16}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{9}{16} ekleyin.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$