8x^2+10x-7=0 Denklemini Çözme

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

x için çözün

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 8x^{2}+ax+bx-7 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -56 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Çözüm, 10 toplamını veren çifttir.

$$a=-4 b=14$$

8x^{2}+10x-7 ifadesini \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 7 4x çarpanlarına ayırın.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-1=0 ve 4x+7=0 çözün.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 8, b yerine 10 ve c yerine -7 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

10 sayısının karesi.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

-4 ile 8 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

-32 ile -7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

224 ile 100 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

324 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

2 ile 8 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-10±18}{16} denklemini çözün. 18 ile -10 sayısını toplayın.

$$x=\frac{8}{16}$$

8 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{8}{16} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-10±18}{16} denklemini çözün. 18 sayısını -10 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{28}{16}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-28}{16} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Denklemin her iki tarafına 7 ekleyin.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

-7 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$8x^{2}+10x=7$$

Her iki tarafı 8 ile bölün.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

8 ile bölme, 8 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{10}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{5}{4} sayısını 2 değerine bölerek \frac{5}{8} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{5}{8} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

\frac{5}{8} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{7}{8} ile \frac{25}{64} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

Faktör x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{5}{8} çıkarın.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$