75x^2+35x-10=0 Denklemini Çözme

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

x için çözün

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 15x^{2}+ax+bx-2 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -30 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Çözüm, 7 toplamını veren çifttir.

$$a=-3 b=10$$

15x^{2}+7x-2 ifadesini \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 2 3x çarpanlarına ayırın.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 5x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 5x-1=0 ve 3x+2=0 çözün.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 75, b yerine 35 ve c yerine -10 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

35 sayısının karesi.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

-4 ile 75 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

-300 ile -10 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

3000 ile 1225 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

4225 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

2 ile 75 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-35±65}{150} denklemini çözün. 65 ile -35 sayısını toplayın.

$$x=\frac{30}{150}$$

30 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{30}{150} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{5}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-35±65}{150} denklemini çözün. 65 sayısını -35 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{100}{150}$$

50 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-100}{150} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Denklemin her iki tarafına 10 ekleyin.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

-10 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

-10 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$75x^{2}+35x=10$$

Her iki tarafı 75 ile bölün.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

75 ile bölme, 75 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

5 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{35}{75} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

5 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{10}{75} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{7}{15} sayısını 2 değerine bölerek \frac{7}{30} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{7}{30} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

\frac{7}{30} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{2}{15} ile \frac{49}{900} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Faktör x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{7}{30} çıkarın.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$