7x^2-4x-11=0 Denklemini Çözme

$$7 x ^ { 2 } - 4 x - 11 = 0$$

x için çözün

$$x=-1$$

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1,571428571$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 7x^{2}+ax+bx-11 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-4 ab=7\left(-11\right)=-77$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -77 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-77 7,-11$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-77=-76 7-11=-4$$

Çözüm, -4 toplamını veren çifttir.

$$a=-11 b=7$$

7x^{2}-4x-11 ifadesini \left(7x^{2}-11x\right)+\left(7x-11\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(7x^{2}-11x\right)+\left(7x-11\right)$$

7x^{2}-11x ifadesini x ortak çarpan parantezine alın.

$$x\left(7x-11\right)+7x-11$$

Dağılma özelliği kullanarak 7x-11 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(7x-11\right)\left(x+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 7x-11=0 ve x+1=0 çözün.

$$x=\frac{11}{7} x=-1$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$7x^{2}-4x-11=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 7, b yerine -4 ve c yerine -11 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 7\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

-4 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 7\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

-4 ile 7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-28\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

-28 ile -11 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+308}}{2\times 7}$$

308 ile 16 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{324}}{2\times 7}$$

324 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±18}{2\times 7}$$

-4 sayısının tersi: 4.

$$x=\frac{4±18}{2\times 7}$$

2 ile 7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{4±18}{14}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{4±18}{14} denklemini çözün. 18 ile 4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{22}{14}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{22}{14} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{11}{7}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{4±18}{14} denklemini çözün. 18 sayısını 4 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{14}{14}$$

-14 sayısını 14 ile bölün.

$$x=-1$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{11}{7} x=-1$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$7x^{2}-4x-11=0$$

Denklemin her iki tarafına 11 ekleyin.

$$7x^{2}-4x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

-11 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$7x^{2}-4x=-\left(-11\right)$$

-11 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$7x^{2}-4x=11$$

Her iki tarafı 7 ile bölün.

$$\frac{7x^{2}-4x}{7}=\frac{11}{7}$$

7 ile bölme, 7 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x=\frac{11}{7}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{4}{7} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{2}{7} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{2}{7} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\left(-\frac{2}{7}\right)^{2}=\frac{11}{7}+\left(-\frac{2}{7}\right)^{2}$$

-\frac{2}{7} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=\frac{11}{7}+\frac{4}{49}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{11}{7} ile \frac{4}{49} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=\frac{81}{49}$$

Faktör x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{7}\right)^{2}=\frac{81}{49}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{49}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{2}{7}=\frac{9}{7} x-\frac{2}{7}=-\frac{9}{7}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{2}{7} ekleyin.

$$x=\frac{11}{7} x=-1$$