7x^2-32x-15=0 Denklemini Çözme

$$7 x ^ { 2 } - 32 x - 15 = 0$$

x için çözün

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x=5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 7x^{2}+ax+bx-15 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-32 ab=7\left(-15\right)=-105$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -105 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-105 3,-35 5,-21 7,-15$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-105=-104 3-35=-32 5-21=-16 7-15=-8$$

Çözüm, -32 toplamını veren çifttir.

$$a=-35 b=3$$

7x^{2}-32x-15 ifadesini \left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 3 7x çarpanlarına ayırın.

$$7x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-5=0 ve 7x+3=0 çözün.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 7, b yerine -32 ve c yerine -15 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

-32 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

-4 ile 7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

-28 ile -15 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+420}}{2\times 7}$$

420 ile 1024 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1444}}{2\times 7}$$

1444 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±38}{2\times 7}$$

-32 sayısının tersi: 32.

$$x=\frac{32±38}{2\times 7}$$

2 ile 7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{32±38}{14}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{32±38}{14} denklemini çözün. 38 ile 32 sayısını toplayın.

$$x=\frac{70}{14}$$

70 sayısını 14 ile bölün.

$$x=5$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{32±38}{14} denklemini çözün. 38 sayısını 32 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{6}{14}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-6}{14} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Denklem çözüldü.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

Denklemin her iki tarafına 15 ekleyin.

$$7x^{2}-32x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$7x^{2}-32x=-\left(-15\right)$$

-15 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$7x^{2}-32x=15$$

Her iki tarafı 7 ile bölün.

$$\frac{7x^{2}-32x}{7}=\frac{15}{7}$$

7 ile bölme, 7 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x=\frac{15}{7}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{32}{7} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{16}{7} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{16}{7} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

-\frac{16}{7} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{15}{7}+\frac{256}{49}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{15}{7} ile \frac{256}{49} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{361}{49}$$

Faktör x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{361}{49}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{49}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{16}{7}=\frac{19}{7} x-\frac{16}{7}=-\frac{19}{7}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{16}{7} ekleyin.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$