7x^2+4x+1=0 Denklemini Çözme

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

x için çözün (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0,285714286+0,24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0,285714286-0,24743583i$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 7, b yerine 4 ve c yerine 1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

4 sayısının karesi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

-4 ile 7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

-28 ile 16 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

-12 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

2 ile 7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} denklemini çözün. 2i\sqrt{3} ile -4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

-4+2i\sqrt{3} sayısını 14 ile bölün.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} denklemini çözün. 2i\sqrt{3} sayısını -4 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

-4-2i\sqrt{3} sayısını 14 ile bölün.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$7x^{2}+4x=-1$$

Her iki tarafı 7 ile bölün.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

7 ile bölme, 7 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{4}{7} sayısını 2 değerine bölerek \frac{2}{7} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{2}{7} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

\frac{2}{7} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{1}{7} ile \frac{4}{49} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{2}{7} çıkarın.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$