6x^2-x=15 Denklemini Çözme

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

x için çözün

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 15 sayısını çıkarın.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 6x^{2}+ax+bx-15 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -90 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Çözüm, -1 toplamını veren çifttir.

$$a=-10 b=9$$

6x^{2}-x-15 ifadesini \left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

İlk grubu 2x, ikinci grubu 3 ortak çarpan parantezine alın.

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x-5=0 ve 2x+3=0 çözün.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$6x^{2}-x=15$$

Denklemin her iki tarafından 15 çıkarın.

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

15 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 6, b yerine -1 ve c yerine -15 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

-4 ile 6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

-24 ile -15 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

360 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

361 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

-1 sayısının tersi: 1.

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

2 ile 6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{1±19}{12}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{1±19}{12} denklemini çözün. 19 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{20}{12}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{20}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{5}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{1±19}{12} denklemini çözün. 19 sayısını 1 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{18}{12}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-18}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$6x^{2}-x=15$$

Her iki tarafı 6 ile bölün.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

6 ile bölme, 6 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

3 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{15}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{1}{6} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{12} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{12} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

-\frac{1}{12} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{5}{2} ile \frac{1}{144} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{12} ekleyin.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$