6x^2-7x-3=0 Denklemini Çözme

$$6 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

x için çözün

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 6x^{2}+ax+bx-3 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-7 ab=6\left(-3\right)=-18$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -18 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Çözüm, -7 toplamını veren çifttir.

$$a=-9 b=2$$

6x^{2}-7x-3 ifadesini \left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right)$$

6x^{2}-9x ifadesini 3x ortak çarpan parantezine alın.

$$3x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-3=0 ve 3x+1=0 çözün.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 6, b yerine -7 ve c yerine -3 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

-7 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

-4 ile 6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

-24 ile -3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\times 6}$$

72 ile 49 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

121 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\times 6}$$

-7 sayısının tersi: 7.

$$x=\frac{7±11}{2\times 6}$$

2 ile 6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{7±11}{12}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{7±11}{12} denklemini çözün. 11 ile 7 sayısını toplayın.

$$x=\frac{18}{12}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{18}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{3}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{7±11}{12} denklemini çözün. 11 sayısını 7 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{4}{12}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-4}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Denklemin her iki tarafına 3 ekleyin.

$$6x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$6x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

-3 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$6x^{2}-7x=3$$

Her iki tarafı 6 ile bölün.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=\frac{3}{6}$$

6 ile bölme, 6 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{3}{6}$$

3 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{3}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{1}{2}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{7}{6} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{7}{12} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{7}{12} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

-\frac{7}{12} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{2}+\frac{49}{144}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{1}{2} ile \frac{49}{144} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{121}{144}$$

x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{11}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{11}{12}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{7}{12} ekleyin.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$