6x^2-5x-1=0 Denklemini Çözme

$$6 { x }^{ 2 } -5x-1=0$$

x için çözün

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0,166666667$$

$$x=1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 6x^{2}+ax+bx-1 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-5 ab=6\left(-1\right)=-6$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -6 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-6 2,-3$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Çözüm, -5 toplamını veren çifttir.

$$a=-6 b=1$$

6x^{2}-5x-1 ifadesini \left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right)$$

6x^{2}-6x ifadesini 6x ortak çarpan parantezine alın.

$$6x\left(x-1\right)+x-1$$

Dağılma özelliği kullanarak x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-1=0 ve 6x+1=0 çözün.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 6, b yerine -5 ve c yerine -1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

-5 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

-4 ile 6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

-24 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 6}$$

24 ile 25 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

49 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 6}$$

-5 sayısının tersi: 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 6}$$

2 ile 6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{5±7}{12}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{5±7}{12} denklemini çözün. 7 ile 5 sayısını toplayın.

$$x=\frac{12}{12}$$

12 sayısını 12 ile bölün.

$$x=1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{5±7}{12} denklemini çözün. 7 sayısını 5 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{2}{12}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-2}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Denklem çözüldü.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Denklemin her iki tarafına 1 ekleyin.

$$6x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$6x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

-1 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$6x^{2}-5x=1$$

Her iki tarafı 6 ile bölün.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{1}{6}$$

6 ile bölme, 6 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{1}{6}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{5}{6} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{5}{12} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{5}{12} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

-\frac{5}{12} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{1}{6} ile \frac{25}{144} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktör x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{7}{12}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{5}{12} ekleyin.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$