6x^2-4x-112=0 Denklemini Çözme

$$6 { x }^{ 2 } -4x-112=0$$

x için çözün

$$x=-4$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$3x^{2}-2x-56=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3x^{2}+ax+bx-56 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-2 ab=3\left(-56\right)=-168$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -168 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

Çözüm, -2 toplamını veren çifttir.

$$a=-14 b=12$$

3x^{2}-2x-56 ifadesini \left(3x^{2}-14x\right)+\left(12x-56\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}-14x\right)+\left(12x-56\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 4 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(3x-14\right)+4\left(3x-14\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x-14 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x-14\right)\left(x+4\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x-14=0 ve x+4=0 çözün.

$$x=\frac{14}{3} x=-4$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$6x^{2}-4x-112=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 6, b yerine -4 ve c yerine -112 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 6\left(-112\right)}}{2\times 6}$$

-4 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 6\left(-112\right)}}{2\times 6}$$

-4 ile 6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-24\left(-112\right)}}{2\times 6}$$

-24 ile -112 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+2688}}{2\times 6}$$

2688 ile 16 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{2704}}{2\times 6}$$

2704 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±52}{2\times 6}$$

-4 sayısının tersi: 4.

$$x=\frac{4±52}{2\times 6}$$

2 ile 6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{4±52}{12}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{4±52}{12} denklemini çözün. 52 ile 4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{56}{12}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{56}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{14}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{4±52}{12} denklemini çözün. 52 sayısını 4 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{48}{12}$$

-48 sayısını 12 ile bölün.

$$x=-4$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{14}{3} x=-4$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$6x^{2}-4x-112=0$$

Denklemin her iki tarafına 112 ekleyin.

$$6x^{2}-4x-112-\left(-112\right)=-\left(-112\right)$$

-112 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$6x^{2}-4x=-\left(-112\right)$$

-112 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$6x^{2}-4x=112$$

Her iki tarafı 6 ile bölün.

$$\frac{6x^{2}-4x}{6}=\frac{112}{6}$$

6 ile bölme, 6 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{6}\right)x=\frac{112}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-4}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{112}{6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{112}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{56}{3}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{2}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{56}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

-\frac{1}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{56}{3}+\frac{1}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{56}{3} ile \frac{1}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{169}{9}$$

Faktör x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{13}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{13}{3}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{3} ekleyin.

$$x=\frac{14}{3} x=-4$$