6x^2+11x+3=0 Denklemini Çözme

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

x için çözün

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 6x^{2}+ax+bx+3 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 18 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,18 2,9 3,6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

Çözüm, 11 toplamını veren çifttir.

$$a=2 b=9$$

6x^{2}+11x+3 ifadesini \left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 3 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x+1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x+1=0 ve 2x+3=0 çözün.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 6, b yerine 11 ve c yerine 3 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

11 sayısının karesi.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

-4 ile 6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

-24 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

-72 ile 121 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

49 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

2 ile 6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-11±7}{12} denklemini çözün. 7 ile -11 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{4}{12}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-4}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-11±7}{12} denklemini çözün. 7 sayısını -11 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{18}{12}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-18}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Denklemin her iki tarafından 3 çıkarın.

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

3 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$6x^{2}+11x=-3$$

Her iki tarafı 6 ile bölün.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

6 ile bölme, 6 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

3 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-3}{6} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{11}{6} sayısını 2 değerine bölerek \frac{11}{12} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{11}{12} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

\frac{11}{12} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{1}{2} ile \frac{121}{144} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktör x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{11}{12} çıkarın.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$