54(1+x)(1+x)=1215 Denklemini Çözme

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

x için çözün

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3,74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5,74341649$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

1+x ve 1+x sayılarını çarparak \left(1+x\right)^{2} sonucunu bulun.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

\left(1+x\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

54 sayısını 1+2x+x^{2} ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Her iki taraftan 1215 sayısını çıkarın.

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

54 sayısından 1215 sayısını çıkarıp -1161 sonucunu bulun.

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 54, b yerine 108 ve c yerine -1161 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

108 sayısının karesi.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

-4 ile 54 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

-216 ile -1161 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

250776 ile 11664 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

262440 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

2 ile 54 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} denklemini çözün. 162\sqrt{10} ile -108 sayısını toplayın.

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

-108+162\sqrt{10} sayısını 108 ile bölün.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} denklemini çözün. 162\sqrt{10} sayısını -108 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

-108-162\sqrt{10} sayısını 108 ile bölün.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Kareyi Tamamlama Adımları

1+x ve 1+x sayılarını çarparak \left(1+x\right)^{2} sonucunu bulun.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

\left(1+x\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

54 sayısını 1+2x+x^{2} ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Her iki taraftan 54 sayısını çıkarın.

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

1215 sayısından 54 sayısını çıkarıp 1161 sonucunu bulun.

$$108x+54x^{2}=1161$$

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$54x^{2}+108x=1161$$

Her iki tarafı 54 ile bölün.

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

54 ile bölme, 54 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

108 sayısını 54 ile bölün.

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

27 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{1161}{54} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

x teriminin katsayısı olan 2 sayısını 2 değerine bölerek 1 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına 1 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

1 sayısının karesi.

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

1 ile \frac{43}{2} sayısını toplayın.

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

Faktör x^{2}+2x+1. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

Sadeleştirin.

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$