50x-2x^2-300=0 Denklemini Çözme

$$50 x - 2 x ^ { 2 } - 300 = 0$$

x için çözün

$$x=10$$

$$x=15$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$25x-x^{2}-150=0$$

Standart biçime dönüştürmek için polinomu yeniden düzenleyin. Terimleri üslerine göre azalan düzende sıralayın.

$$-x^{2}+25x-150=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -x^{2}+ax+bx-150 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=25 ab=-\left(-150\right)=150$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 150 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,150 2,75 3,50 5,30 6,25 10,15$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+150=151 2+75=77 3+50=53 5+30=35 6+25=31 10+15=25$$

Çözüm, 25 toplamını veren çifttir.

$$a=15 b=10$$

-x^{2}+25x-150 ifadesini \left(-x^{2}+15x\right)+\left(10x-150\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-x^{2}+15x\right)+\left(10x-150\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 10 -x çarpanlarına ayırın.

$$-x\left(x-15\right)+10\left(x-15\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-15 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-15\right)\left(-x+10\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-15=0 ve -x+10=0 çözün.

$$x=15 x=10$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-2x^{2}+50x-300=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -2, b yerine 50 ve c yerine -300 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\left(-2\right)\left(-300\right)}}{2\left(-2\right)}$$

50 sayısının karesi.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-4\left(-2\right)\left(-300\right)}}{2\left(-2\right)}$$

-4 ile -2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500+8\left(-300\right)}}{2\left(-2\right)}$$

8 ile -300 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-2400}}{2\left(-2\right)}$$

-2400 ile 2500 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-50±\sqrt{100}}{2\left(-2\right)}$$

100 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-50±10}{2\left(-2\right)}$$

2 ile -2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-50±10}{-4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-50±10}{-4} denklemini çözün. 10 ile -50 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{40}{-4}$$

-40 sayısını -4 ile bölün.

$$x=10$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-50±10}{-4} denklemini çözün. 10 sayısını -50 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{60}{-4}$$

-60 sayısını -4 ile bölün.

$$x=15$$

Denklem çözüldü.

$$x=10 x=15$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-2x^{2}+50x-300=0$$

Denklemin her iki tarafına 300 ekleyin.

$$-2x^{2}+50x-300-\left(-300\right)=-\left(-300\right)$$

-300 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$-2x^{2}+50x=-\left(-300\right)$$

-300 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$-2x^{2}+50x=300$$

Her iki tarafı -2 ile bölün.

$$\frac{-2x^{2}+50x}{-2}=\frac{300}{-2}$$

-2 ile bölme, -2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{50}{-2}x=\frac{300}{-2}$$

50 sayısını -2 ile bölün.

$$x^{2}-25x=\frac{300}{-2}$$

300 sayısını -2 ile bölün.

$$x^{2}-25x=-150$$

x teriminin katsayısı olan -25 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{25}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{25}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-150+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

-\frac{25}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-150+\frac{625}{4}$$

\frac{625}{4} ile -150 sayısını toplayın.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktör x^{2}-25x+\frac{625}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{25}{2} ekleyin.

$$x=15 x=10$$