5x^2-8x+3=0 Denklemini Çözme

$$5 x ^ { 2 } - 8 x + 3 = 0$$

x için çözün

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{5}=0,6$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 5x^{2}+ax+bx+3 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-8 ab=5\times 3=15$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 15 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-15 -3,-5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Çözüm, -8 toplamını veren çifttir.

$$a=-5 b=-3$$

5x^{2}-8x+3 ifadesini \left(5x^{2}-5x\right)+\left(-3x+3\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(-3x+3\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -3 5x çarpanlarına ayırın.

$$5x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-1\right)\left(5x-3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-1=0 ve 5x-3=0 çözün.

$$x=1 x=\frac{3}{5}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$5x^{2}-8x+3=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 5, b yerine -8 ve c yerine 3 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

-8 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

-4 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-20\times 3}}{2\times 5}$$

-20 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 5}$$

-60 ile 64 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 5}$$

4 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 5}$$

-8 sayısının tersi: 8.

$$x=\frac{8±2}{2\times 5}$$

2 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{8±2}{10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{8±2}{10} denklemini çözün. 2 ile 8 sayısını toplayın.

$$x=\frac{10}{10}$$

10 sayısını 10 ile bölün.

$$x=1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{8±2}{10} denklemini çözün. 2 sayısını 8 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{6}{10}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{6}{10} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{3}{5}$$

Denklem çözüldü.

$$x=1 x=\frac{3}{5}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$5x^{2}-8x+3=0$$

Denklemin her iki tarafından 3 çıkarın.

$$5x^{2}-8x+3-3=-3$$

3 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$5x^{2}-8x=-3$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$\frac{5x^{2}-8x}{5}=-\frac{3}{5}$$

5 ile bölme, 5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{3}{5}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{8}{5} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{4}{5} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{4}{5} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

-\frac{4}{5} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{16}{25}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{3}{5} ile \frac{16}{25} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{1}{25}$$

Faktör x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{1}{25}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{25}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{1}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{1}{5}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{4}{5} ekleyin.

$$x=1 x=\frac{3}{5}$$