5x^2-7x-6=0 Denklemini Çözme

$$5 x ^ { 2 } - 7 x - 6 = 0$$

x için çözün

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

$$x=2$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 5x^{2}+ax+bx-6 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-7 ab=5\left(-6\right)=-30$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -30 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Çözüm, -7 toplamını veren çifttir.

$$a=-10 b=3$$

5x^{2}-7x-6 ifadesini \left(5x^{2}-10x\right)+\left(3x-6\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(3x-6\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 3 5x çarpanlarına ayırın.

$$5x\left(x-2\right)+3\left(x-2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-2\right)\left(5x+3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-2=0 ve 5x+3=0 çözün.

$$x=2 x=-\frac{3}{5}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$5x^{2}-7x-6=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 5, b yerine -7 ve c yerine -6 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-6\right)}}{2\times 5}$$

-7 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-6\right)}}{2\times 5}$$

-4 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-6\right)}}{2\times 5}$$

-20 ile -6 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2\times 5}$$

120 ile 49 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2\times 5}$$

169 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2\times 5}$$

-7 sayısının tersi: 7.

$$x=\frac{7±13}{2\times 5}$$

2 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{7±13}{10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{7±13}{10} denklemini çözün. 13 ile 7 sayısını toplayın.

$$x=\frac{20}{10}$$

20 sayısını 10 ile bölün.

$$x=2$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{7±13}{10} denklemini çözün. 13 sayısını 7 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{6}{10}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-6}{10} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Denklem çözüldü.

$$x=2 x=-\frac{3}{5}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$5x^{2}-7x-6=0$$

Denklemin her iki tarafına 6 ekleyin.

$$5x^{2}-7x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

-6 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$5x^{2}-7x=-\left(-6\right)$$

-6 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$5x^{2}-7x=6$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{6}{5}$$

5 ile bölme, 5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{6}{5}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{7}{5} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{7}{10} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{7}{10} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

-\frac{7}{10} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{6}{5}+\frac{49}{100}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{6}{5} ile \frac{49}{100} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{169}{100}$$

Faktör x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{169}{100}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{100}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{13}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{13}{10}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{7}{10} ekleyin.

$$x=2 x=-\frac{3}{5}$$