5x^2-3x-2=0 Denklemini Çözme

$$5 x ^ { 2 } - 3 x - 2 = 0$$

x için çözün

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 5x^{2}+ax+bx-2 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-3 ab=5\left(-2\right)=-10$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -10 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-10 2,-5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Çözüm, -3 toplamını veren çifttir.

$$a=-5 b=2$$

5x^{2}-3x-2 ifadesini \left(5x^{2}-5x\right)+\left(2x-2\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(2x-2\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 2 5x çarpanlarına ayırın.

$$5x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-1\right)\left(5x+2\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-1=0 ve 5x+2=0 çözün.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$5x^{2}-3x-2=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 5, b yerine -3 ve c yerine -2 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

-3 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

-4 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

-20 ile -2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 5}$$

40 ile 9 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 5}$$

49 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 5}$$

-3 sayısının tersi: 3.

$$x=\frac{3±7}{2\times 5}$$

2 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{3±7}{10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{3±7}{10} denklemini çözün. 7 ile 3 sayısını toplayın.

$$x=\frac{10}{10}$$

10 sayısını 10 ile bölün.

$$x=1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{3±7}{10} denklemini çözün. 7 sayısını 3 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{4}{10}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-4}{10} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Denklem çözüldü.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$5x^{2}-3x-2=0$$

Denklemin her iki tarafına 2 ekleyin.

$$5x^{2}-3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

-2 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$5x^{2}-3x=-\left(-2\right)$$

-2 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$5x^{2}-3x=2$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$\frac{5x^{2}-3x}{5}=\frac{2}{5}$$

5 ile bölme, 5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{2}{5}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{3}{5} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{3}{10} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{3}{10} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

-\frac{3}{10} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{2}{5}+\frac{9}{100}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{2}{5} ile \frac{9}{100} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{49}{100}$$

Faktör x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{49}{100}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{100}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{7}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{7}{10}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{3}{10} ekleyin.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$