5x^2-12x+4=0 Denklemini Çözme

$$5 x ^ { 2 } - 12 x + 4 = 0$$

x için çözün

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

$$x=2$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 5x^{2}+ax+bx+4 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-12 ab=5\times 4=20$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 20 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-20 -2,-10 -4,-5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-20=-21 -2-10=-12 -4-5=-9$$

Çözüm, -12 toplamını veren çifttir.

$$a=-10 b=-2$$

5x^{2}-12x+4 ifadesini \left(5x^{2}-10x\right)+\left(-2x+4\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(-2x+4\right)$$

İlk grubu 5x, ikinci grubu -2 ortak çarpan parantezine alın.

$$5x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-2\right)\left(5x-2\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-2=0 ve 5x-2=0 çözün.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$5x^{2}-12x+4=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 5, b yerine -12 ve c yerine 4 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

-12 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

-4 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\times 4}}{2\times 5}$$

-20 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-80}}{2\times 5}$$

-80 ile 144 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{64}}{2\times 5}$$

64 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±8}{2\times 5}$$

-12 sayısının tersi: 12.

$$x=\frac{12±8}{2\times 5}$$

2 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{12±8}{10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{12±8}{10} denklemini çözün. 8 ile 12 sayısını toplayın.

$$x=\frac{20}{10}$$

20 sayısını 10 ile bölün.

$$x=2$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{12±8}{10} denklemini çözün. 8 sayısını 12 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{4}{10}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{4}{10} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{2}{5}$$

Denklem çözüldü.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$5x^{2}-12x+4=0$$

Denklemin her iki tarafından 4 çıkarın.

$$5x^{2}-12x+4-4=-4$$

4 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$5x^{2}-12x=-4$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=-\frac{4}{5}$$

5 ile bölme, 5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=-\frac{4}{5}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{12}{5} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{6}{5} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{6}{5} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

-\frac{6}{5} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=-\frac{4}{5}+\frac{36}{25}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{4}{5} ile \frac{36}{25} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{16}{25}$$

x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{4}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{4}{5}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{6}{5} ekleyin.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$