5x^2+x+1=5 Denklemini Çözme

$$5 x ^ { 2 } + x + 1 = 5$$

x için çözün

$$x=-1$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 5 sayısını çıkarın.

$$5x^{2}+x+1-5=0$$

1 sayısından 5 sayısını çıkarıp -4 sonucunu bulun.

$$5x^{2}+x-4=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 5x^{2}+ax+bx-4 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=1 ab=5\left(-4\right)=-20$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -20 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Çözüm, 1 toplamını veren çifttir.

$$a=-4 b=5$$

5x^{2}+x-4 ifadesini \left(5x^{2}-4x\right)+\left(5x-4\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(5x^{2}-4x\right)+\left(5x-4\right)$$

5x^{2}-4x ifadesini x ortak çarpan parantezine alın.

$$x\left(5x-4\right)+5x-4$$

Dağılma özelliği kullanarak 5x-4 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(5x-4\right)\left(x+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 5x-4=0 ve x+1=0 çözün.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$5x^{2}+x+1=5$$

Denklemin her iki tarafından 5 çıkarın.

$$5x^{2}+x+1-5=5-5$$

5 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$5x^{2}+x+1-5=0$$

5 sayısını 1 sayısından çıkarın.

$$5x^{2}+x-4=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 5, b yerine 1 ve c yerine -4 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

1 sayısının karesi.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

-4 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

-20 ile -4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+80}}{2\times 5}$$

80 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-1±\sqrt{81}}{2\times 5}$$

81 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-1±9}{2\times 5}$$

2 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-1±9}{10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-1±9}{10} denklemini çözün. 9 ile -1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{8}{10}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{8}{10} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{4}{5}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-1±9}{10} denklemini çözün. 9 sayısını -1 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{10}{10}$$

-10 sayısını 10 ile bölün.

$$x=-1$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$5x^{2}+x+1=5$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$5x^{2}+x+1-1=5-1$$

1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$5x^{2}+x=5-1$$

1 sayısını 5 sayısından çıkarın.

$$5x^{2}+x=4$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$\frac{5x^{2}+x}{5}=\frac{4}{5}$$

5 ile bölme, 5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x=\frac{4}{5}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{1}{5} sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{10} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{10} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}$$

\frac{1}{10} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{4}{5}+\frac{1}{100}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{4}{5} ile \frac{1}{100} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{81}{100}$$

Faktör x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{81}{100}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{100}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{1}{10}=\frac{9}{10} x+\frac{1}{10}=-\frac{9}{10}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{10} çıkarın.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$