5x^2+3x+1=0 Denklemini Çözme

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

x için çözün (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0,3+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0,3-0,331662479i$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 5, b yerine 3 ve c yerine 1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

3 sayısının karesi.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

-4 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

-20 ile 9 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

-11 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

2 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} denklemini çözün. i\sqrt{11} ile -3 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} denklemini çözün. i\sqrt{11} sayısını -3 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$5x^{2}+3x=-1$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

5 ile bölme, 5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{3}{5} sayısını 2 değerine bölerek \frac{3}{10} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{3}{10} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

\frac{3}{10} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{1}{5} ile \frac{9}{100} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{3}{10} çıkarın.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$