5x^2+21x+4=0 Denklemini Çözme

$$5 x ^ { 2 } + 21 x + 4 = 0$$

x için çözün

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 5x^{2}+ax+bx+4 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=21 ab=5\times 4=20$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 20 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,20 2,10 4,5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Çözüm, 21 toplamını veren çifttir.

$$a=1 b=20$$

5x^{2}+21x+4 ifadesini \left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 4 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(5x+1\right)+4\left(5x+1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 5x+1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(5x+1\right)\left(x+4\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 5x+1=0 ve x+4=0 çözün.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 5, b yerine 21 ve c yerine 4 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

21 sayısının karesi.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

-4 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-20\times 4}}{2\times 5}$$

-20 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 5}$$

-80 ile 441 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

361 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-21±19}{2\times 5}$$

2 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-21±19}{10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-21±19}{10} denklemini çözün. 19 ile -21 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{2}{10}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-2}{10} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-21±19}{10} denklemini çözün. 19 sayısını -21 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{40}{10}$$

-40 sayısını 10 ile bölün.

$$x=-4$$

Denklem çözüldü.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Denklemin her iki tarafından 4 çıkarın.

$$5x^{2}+21x+4-4=-4$$

4 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$5x^{2}+21x=-4$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$\frac{5x^{2}+21x}{5}=-\frac{4}{5}$$

5 ile bölme, 5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x=-\frac{4}{5}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{21}{5} sayısını 2 değerine bölerek \frac{21}{10} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{21}{10} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}$$

\frac{21}{10} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=-\frac{4}{5}+\frac{441}{100}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{4}{5} ile \frac{441}{100} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=\frac{361}{100}$$

Faktör x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{21}{10}=\frac{19}{10} x+\frac{21}{10}=-\frac{19}{10}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{21}{10} çıkarın.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$