5x^2+12x+7=0 Denklemini Çözme

$$5 x ^ { 2 } + 12 x + 7 = 0$$

x için çözün

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1,4$$

$$x=-1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 5x^{2}+ax+bx+7 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=12 ab=5\times 7=35$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 35 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,35 5,7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+35=36 5+7=12$$

Çözüm, 12 toplamını veren çifttir.

$$a=5 b=7$$

5x^{2}+12x+7 ifadesini \left(5x^{2}+5x\right)+\left(7x+7\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(5x^{2}+5x\right)+\left(7x+7\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 7 5x çarpanlarına ayırın.

$$5x\left(x+1\right)+7\left(x+1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x+1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x+1\right)\left(5x+7\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x+1=0 ve 5x+7=0 çözün.

$$x=-1 x=-\frac{7}{5}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$5x^{2}+12x+7=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 5, b yerine 12 ve c yerine 7 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

12 sayısının karesi.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

-4 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-20\times 7}}{2\times 5}$$

-20 ile 7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-140}}{2\times 5}$$

-140 ile 144 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-12±\sqrt{4}}{2\times 5}$$

4 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-12±2}{2\times 5}$$

2 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-12±2}{10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-12±2}{10} denklemini çözün. 2 ile -12 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{10}{10}$$

-10 sayısını 10 ile bölün.

$$x=-1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-12±2}{10} denklemini çözün. 2 sayısını -12 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{14}{10}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-14}{10} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Denklem çözüldü.

$$x=-1 x=-\frac{7}{5}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$5x^{2}+12x+7=0$$

Denklemin her iki tarafından 7 çıkarın.

$$5x^{2}+12x+7-7=-7$$

7 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$5x^{2}+12x=-7$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$\frac{5x^{2}+12x}{5}=-\frac{7}{5}$$

5 ile bölme, 5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=-\frac{7}{5}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{12}{5} sayısını 2 değerine bölerek \frac{6}{5} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{6}{5} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=-\frac{7}{5}+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

\frac{6}{5} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=-\frac{7}{5}+\frac{36}{25}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{7}{5} ile \frac{36}{25} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{1}{25}$$

Faktör x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{1}{25}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{25}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{6}{5}=\frac{1}{5} x+\frac{6}{5}=-\frac{1}{5}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{6}{5} çıkarın.

$$x=-1 x=-\frac{7}{5}$$