5r^2=11r+12 Denklemini Çözme

$$5 r ^ { 2 } = 11 r + 12$$

r için çözün

$$r=-\frac{4}{5}=-0,8$$

$$r=3$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 11r sayısını çıkarın.

$$5r^{2}-11r=12$$

Her iki taraftan 12 sayısını çıkarın.

$$5r^{2}-11r-12=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 5r^{2}+ar+br-12 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-11 ab=5\left(-12\right)=-60$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -60 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Çözüm, -11 toplamını veren çifttir.

$$a=-15 b=4$$

5r^{2}-11r-12 ifadesini \left(5r^{2}-15r\right)+\left(4r-12\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(5r^{2}-15r\right)+\left(4r-12\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 4 5r çarpanlarına ayırın.

$$5r\left(r-3\right)+4\left(r-3\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak r-3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(r-3\right)\left(5r+4\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için r-3=0 ve 5r+4=0 çözün.

$$r=3 r=-\frac{4}{5}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Her iki taraftan 11r sayısını çıkarın.

$$5r^{2}-11r=12$$

Her iki taraftan 12 sayısını çıkarın.

$$5r^{2}-11r-12=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 5, b yerine -11 ve c yerine -12 değerini koyarak çözün.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

-11 sayısının karesi.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

-4 ile 5 sayısını çarpın.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-20\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

-20 ile -12 sayısını çarpın.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2\times 5}$$

240 ile 121 sayısını toplayın.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

361 sayısının karekökünü alın.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±19}{2\times 5}$$

-11 sayısının tersi: 11.

$$r=\frac{11±19}{2\times 5}$$

2 ile 5 sayısını çarpın.

$$r=\frac{11±19}{10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak r=\frac{11±19}{10} denklemini çözün. 19 ile 11 sayısını toplayın.

$$r=\frac{30}{10}$$

30 sayısını 10 ile bölün.

$$r=3$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak r=\frac{11±19}{10} denklemini çözün. 19 sayısını 11 sayısından çıkarın.

$$r=-\frac{8}{10}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-8}{10} kesrini sadeleştirin.

$$r=-\frac{4}{5}$$

Denklem çözüldü.

$$r=3 r=-\frac{4}{5}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Her iki taraftan 11r sayısını çıkarın.

$$5r^{2}-11r=12$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$\frac{5r^{2}-11r}{5}=\frac{12}{5}$$

5 ile bölme, 5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$r^{2}-\frac{11}{5}r=\frac{12}{5}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{11}{5} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{11}{10} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{11}{10} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$r^{2}-\frac{11}{5}r+\left(-\frac{11}{10}\right)^{2}=\frac{12}{5}+\left(-\frac{11}{10}\right)^{2}$$

-\frac{11}{10} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$r^{2}-\frac{11}{5}r+\frac{121}{100}=\frac{12}{5}+\frac{121}{100}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{12}{5} ile \frac{121}{100} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$r^{2}-\frac{11}{5}r+\frac{121}{100}=\frac{361}{100}$$

Faktör r^{2}-\frac{11}{5}r+\frac{121}{100}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{11}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

Sadeleştirin.

$$r-\frac{11}{10}=\frac{19}{10} r-\frac{11}{10}=-\frac{19}{10}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{11}{10} ekleyin.

$$r=3 r=-\frac{4}{5}$$