5m^2-4m-9=0 Denklemini Çözme

$$5 m ^ { 2 } - 4 m - 9 = 0$$

m için çözün

$$m=-1$$

$$m = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1,8$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 5m^{2}+am+bm-9 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-4 ab=5\left(-9\right)=-45$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -45 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Çözüm, -4 toplamını veren çifttir.

$$a=-9 b=5$$

5m^{2}-4m-9 ifadesini \left(5m^{2}-9m\right)+\left(5m-9\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(5m^{2}-9m\right)+\left(5m-9\right)$$

5m^{2}-9m ifadesini m ortak çarpan parantezine alın.

$$m\left(5m-9\right)+5m-9$$

Dağılma özelliği kullanarak 5m-9 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(5m-9\right)\left(m+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 5m-9=0 ve m+1=0 çözün.

$$m=\frac{9}{5} m=-1$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$5m^{2}-4m-9=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 5, b yerine -4 ve c yerine -9 değerini koyarak çözün.

$$m=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

-4 sayısının karesi.

$$m=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

-4 ile 5 sayısını çarpın.

$$m=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

-20 ile -9 sayısını çarpın.

$$m=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 5}$$

180 ile 16 sayısını toplayın.

$$m=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 5}$$

196 sayısının karekökünü alın.

$$m=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 5}$$

-4 sayısının tersi: 4.

$$m=\frac{4±14}{2\times 5}$$

2 ile 5 sayısını çarpın.

$$m=\frac{4±14}{10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak m=\frac{4±14}{10} denklemini çözün. 14 ile 4 sayısını toplayın.

$$m=\frac{18}{10}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{18}{10} kesrini sadeleştirin.

$$m=\frac{9}{5}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak m=\frac{4±14}{10} denklemini çözün. 14 sayısını 4 sayısından çıkarın.

$$m=-\frac{10}{10}$$

-10 sayısını 10 ile bölün.

$$m=-1$$

Denklem çözüldü.

$$m=\frac{9}{5} m=-1$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$5m^{2}-4m-9=0$$

Denklemin her iki tarafına 9 ekleyin.

$$5m^{2}-4m-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$5m^{2}-4m=-\left(-9\right)$$

-9 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$5m^{2}-4m=9$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$\frac{5m^{2}-4m}{5}=\frac{9}{5}$$

5 ile bölme, 5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$m^{2}-\frac{4}{5}m=\frac{9}{5}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{4}{5} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{2}{5} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{2}{5} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$m^{2}-\frac{4}{5}m+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

-\frac{2}{5} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$m^{2}-\frac{4}{5}m+\frac{4}{25}=\frac{9}{5}+\frac{4}{25}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{9}{5} ile \frac{4}{25} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$m^{2}-\frac{4}{5}m+\frac{4}{25}=\frac{49}{25}$$

Faktör m^{2}-\frac{4}{5}m+\frac{4}{25}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(m-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{49}{25}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(m-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{25}}$$

Sadeleştirin.

$$m-\frac{2}{5}=\frac{7}{5} m-\frac{2}{5}=-\frac{7}{5}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{2}{5} ekleyin.

$$m=\frac{9}{5} m=-1$$