5y^2-90y+54=0 Denklemini Çözme

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

y için çözün

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17,378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0,621455974$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 5, b yerine -90 ve c yerine 54 değerini koyarak çözün.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

-90 sayısının karesi.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

-4 ile 5 sayısını çarpın.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

-20 ile 54 sayısını çarpın.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

-1080 ile 8100 sayısını toplayın.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

7020 sayısının karekökünü alın.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

-90 sayısının tersi: 90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

2 ile 5 sayısını çarpın.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} denklemini çözün. 6\sqrt{195} ile 90 sayısını toplayın.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

90+6\sqrt{195} sayısını 10 ile bölün.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} denklemini çözün. 6\sqrt{195} sayısını 90 sayısından çıkarın.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

90-6\sqrt{195} sayısını 10 ile bölün.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Denklem çözüldü.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Denklemin her iki tarafından 54 çıkarın.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

54 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$5y^{2}-90y=-54$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

5 ile bölme, 5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

-90 sayısını 5 ile bölün.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

x teriminin katsayısı olan -18 sayısını 2 değerine bölerek -9 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -9 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

-9 sayısının karesi.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

81 ile -\frac{54}{5} sayısını toplayın.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

Faktör y^{2}-18y+81. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

Sadeleştirin.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

Denklemin her iki tarafına 9 ekleyin.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$