5x^2-6x-8=0 Denklemini Çözme

$$5 { x }^{ 2 } -6x-8=0$$

x için çözün

$$x=-\frac{4}{5}=-0,8$$

$$x=2$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 5x^{2}+ax+bx-8 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-6 ab=5\left(-8\right)=-40$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -40 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Çözüm, -6 toplamını veren çifttir.

$$a=-10 b=4$$

5x^{2}-6x-8 ifadesini \left(5x^{2}-10x\right)+\left(4x-8\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(4x-8\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 4 5x çarpanlarına ayırın.

$$5x\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-2\right)\left(5x+4\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-2=0 ve 5x+4=0 çözün.

$$x=2 x=-\frac{4}{5}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$5x^{2}-6x-8=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 5, b yerine -6 ve c yerine -8 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 5\left(-8\right)}}{2\times 5}$$

-6 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 5\left(-8\right)}}{2\times 5}$$

-4 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-20\left(-8\right)}}{2\times 5}$$

-20 ile -8 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+160}}{2\times 5}$$

160 ile 36 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{196}}{2\times 5}$$

196 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±14}{2\times 5}$$

-6 sayısının tersi: 6.

$$x=\frac{6±14}{2\times 5}$$

2 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{6±14}{10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{6±14}{10} denklemini çözün. 14 ile 6 sayısını toplayın.

$$x=\frac{20}{10}$$

20 sayısını 10 ile bölün.

$$x=2$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{6±14}{10} denklemini çözün. 14 sayısını 6 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{8}{10}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-8}{10} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Denklem çözüldü.

$$x=2 x=-\frac{4}{5}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$5x^{2}-6x-8=0$$

Denklemin her iki tarafına 8 ekleyin.

$$5x^{2}-6x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

-8 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$5x^{2}-6x=-\left(-8\right)$$

-8 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$5x^{2}-6x=8$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$\frac{5x^{2}-6x}{5}=\frac{8}{5}$$

5 ile bölme, 5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x=\frac{8}{5}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{6}{5} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{3}{5} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{3}{5} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{8}{5}+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}$$

-\frac{3}{5} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{8}{5}+\frac{9}{25}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{8}{5} ile \frac{9}{25} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{49}{25}$$

Faktör x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{49}{25}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{25}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{3}{5}=\frac{7}{5} x-\frac{3}{5}=-\frac{7}{5}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{3}{5} ekleyin.

$$x=2 x=-\frac{4}{5}$$