5x^2-4x+10=0 Denklemini Çözme

$$5 { x }^{ 2 } -4x+10 = 0$$

x için çözün (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5}\approx 0,4+1,356465997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}\approx 0,4-1,356465997i$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$5x^{2}-4x+10=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 5, b yerine -4 ve c yerine 10 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

-4 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

-4 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 10}}{2\times 5}$$

-20 ile 10 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-200}}{2\times 5}$$

-200 ile 16 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-184}}{2\times 5}$$

-184 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{46}i}{2\times 5}$$

-4 sayısının tersi: 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{2\times 5}$$

2 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10} denklemini çözün. 2i\sqrt{46} ile 4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{4+2\sqrt{46}i}{10}$$

4+2i\sqrt{46} sayısını 10 ile bölün.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10} denklemini çözün. 2i\sqrt{46} sayısını 4 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-2\sqrt{46}i+4}{10}$$

4-2i\sqrt{46} sayısını 10 ile bölün.

$$x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$5x^{2}-4x+10=0$$

Denklemin her iki tarafından 10 çıkarın.

$$5x^{2}-4x+10-10=-10$$

10 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$5x^{2}-4x=-10$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{10}{5}$$

5 ile bölme, 5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{10}{5}$$

-10 sayısını 5 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-2$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{4}{5} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{2}{5} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{2}{5} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

-\frac{2}{5} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-2+\frac{4}{25}$$

\frac{4}{25} ile -2 sayısını toplayın.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{46}{25}$$

x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{46}{25}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{46}{25}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{46}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{46}i}{5}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{2}{5} ekleyin.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$