5x^2-29x-42=0 Denklemini Çözme

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

x için çözün

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 5x^{2}+ax+bx-42 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -210 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Çözüm, -29 toplamını veren çifttir.

$$a=-35 b=6$$

5x^{2}-29x-42 ifadesini \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 6 5x çarpanlarına ayırın.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-7 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-7=0 ve 5x+6=0 çözün.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 5, b yerine -29 ve c yerine -42 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

-29 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

-4 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

-20 ile -42 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

840 ile 841 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

1681 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

-29 sayısının tersi: 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

2 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{29±41}{10} denklemini çözün. 41 ile 29 sayısını toplayın.

$$x=\frac{70}{10}$$

70 sayısını 10 ile bölün.

$$x=7$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{29±41}{10} denklemini çözün. 41 sayısını 29 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{12}{10}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-12}{10} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Denklem çözüldü.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Denklemin her iki tarafına 42 ekleyin.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

-42 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

-42 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$5x^{2}-29x=42$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

5 ile bölme, 5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{29}{5} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{29}{10} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{29}{10} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

-\frac{29}{10} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{42}{5} ile \frac{841}{100} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Faktör x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{29}{10} ekleyin.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$