5x^2+5x+9=0 Denklemini Çözme

$$5 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

x için çözün (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0,5+1,24498996i$$

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,24498996i$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$5x^{2}+5x+9=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 5, b yerine 5 ve c yerine 9 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

5 sayısının karesi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

-4 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-20\times 9}}{2\times 5}$$

-20 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-180}}{2\times 5}$$

-180 ile 25 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-155}}{2\times 5}$$

-155 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{2\times 5}$$

2 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10} denklemini çözün. i\sqrt{155} ile -5 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-5+\sqrt{155}i}{10}$$

-5+i\sqrt{155} sayısını 10 ile bölün.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10} denklemini çözün. i\sqrt{155} sayısını -5 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-\sqrt{155}i-5}{10}$$

-5-i\sqrt{155} sayısını 10 ile bölün.

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$5x^{2}+5x+9=0$$

Denklemin her iki tarafından 9 çıkarın.

$$5x^{2}+5x+9-9=-9$$

9 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$5x^{2}+5x=-9$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$\frac{5x^{2}+5x}{5}=-\frac{9}{5}$$

5 ile bölme, 5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{5}{5}x=-\frac{9}{5}$$

5 sayısını 5 ile bölün.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{5}$$

x teriminin katsayısı olan 1 sayısını 2 değerine bölerek \frac{1}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{1}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{5}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{5}+\frac{1}{4}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{9}{5} ile \frac{1}{4} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{31}{20}$$

x^{2}+x+\frac{1}{4} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{20}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{20}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{155}i}{10} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{155}i}{10}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{1}{2} çıkarın.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$