5x^2+14x(15-5x)+9=108 Denklemini Çözme

$$5 { x }^{ 2 } +14x(15-5x)+9=108$$

x için çözün

$$x=\frac{3\sqrt{510}}{65}+\frac{21}{13}\approx 2,657685211$$

$$x=-\frac{3\sqrt{510}}{65}+\frac{21}{13}\approx 0,573084019$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

14x sayısını 15-5x ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$5x^{2}+210x-70x^{2}+9=108$$

5x^{2} ve -70x^{2} terimlerini birleştirerek -65x^{2} sonucunu elde edin.

$$-65x^{2}+210x+9=108$$

Her iki taraftan 108 sayısını çıkarın.

$$-65x^{2}+210x+9-108=0$$

9 sayısından 108 sayısını çıkarıp -99 sonucunu bulun.

$$-65x^{2}+210x-99=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -65, b yerine 210 ve c yerine -99 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-210±\sqrt{210^{2}-4\left(-65\right)\left(-99\right)}}{2\left(-65\right)}$$

210 sayısının karesi.

$$x=\frac{-210±\sqrt{44100-4\left(-65\right)\left(-99\right)}}{2\left(-65\right)}$$

-4 ile -65 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-210±\sqrt{44100+260\left(-99\right)}}{2\left(-65\right)}$$

260 ile -99 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-210±\sqrt{44100-25740}}{2\left(-65\right)}$$

-25740 ile 44100 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-210±\sqrt{18360}}{2\left(-65\right)}$$

18360 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-210±6\sqrt{510}}{2\left(-65\right)}$$

2 ile -65 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-210±6\sqrt{510}}{-130}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-210±6\sqrt{510}}{-130} denklemini çözün. 6\sqrt{510} ile -210 sayısını toplayın.

$$x=\frac{6\sqrt{510}-210}{-130}$$

-210+6\sqrt{510} sayısını -130 ile bölün.

$$x=-\frac{3\sqrt{510}}{65}+\frac{21}{13}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-210±6\sqrt{510}}{-130} denklemini çözün. 6\sqrt{510} sayısını -210 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-6\sqrt{510}-210}{-130}$$

-210-6\sqrt{510} sayısını -130 ile bölün.

$$x=\frac{3\sqrt{510}}{65}+\frac{21}{13}$$

Denklem çözüldü.

$$x=-\frac{3\sqrt{510}}{65}+\frac{21}{13} x=\frac{3\sqrt{510}}{65}+\frac{21}{13}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

14x sayısını 15-5x ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$5x^{2}+210x-70x^{2}+9=108$$

5x^{2} ve -70x^{2} terimlerini birleştirerek -65x^{2} sonucunu elde edin.

$$-65x^{2}+210x+9=108$$

Her iki taraftan 9 sayısını çıkarın.

$$-65x^{2}+210x=108-9$$

108 sayısından 9 sayısını çıkarıp 99 sonucunu bulun.

$$-65x^{2}+210x=99$$

Her iki tarafı -65 ile bölün.

$$\frac{-65x^{2}+210x}{-65}=\frac{99}{-65}$$

-65 ile bölme, -65 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{210}{-65}x=\frac{99}{-65}$$

5 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{210}{-65} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{42}{13}x=\frac{99}{-65}$$

99 sayısını -65 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{42}{13}x=-\frac{99}{65}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{42}{13} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{21}{13} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{21}{13} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{42}{13}x+\left(-\frac{21}{13}\right)^{2}=-\frac{99}{65}+\left(-\frac{21}{13}\right)^{2}$$

-\frac{21}{13} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{42}{13}x+\frac{441}{169}=-\frac{99}{65}+\frac{441}{169}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{99}{65} ile \frac{441}{169} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{42}{13}x+\frac{441}{169}=\frac{918}{845}$$

Faktör x^{2}-\frac{42}{13}x+\frac{441}{169}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{13}\right)^{2}=\frac{918}{845}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{918}{845}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{21}{13}=\frac{3\sqrt{510}}{65} x-\frac{21}{13}=-\frac{3\sqrt{510}}{65}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{21}{13} ekleyin.

$$x=\frac{3\sqrt{510}}{65}+\frac{21}{13} x=-\frac{3\sqrt{510}}{65}+\frac{21}{13}$$