5x^2+10x-75=0 Denklemini Çözme

$$5 { x }^{ 2 } +10x-75 = 0$$

x için çözün

$$x=-5$$

$$x=3$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$x^{2}+2x-15=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx-15 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=2 ab=1\left(-15\right)=-15$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -15 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,15 -3,5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Çözüm, 2 toplamını veren çifttir.

$$a=-3 b=5$$

x^{2}+2x-15 ifadesini \left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-3=0 ve x+5=0 çözün.

$$x=3 x=-5$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 5, b yerine 10 ve c yerine -75 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

10 sayısının karesi.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

-4 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

-20 ile -75 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+1500}}{2\times 5}$$

1500 ile 100 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-10±\sqrt{1600}}{2\times 5}$$

1600 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-10±40}{2\times 5}$$

2 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-10±40}{10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-10±40}{10} denklemini çözün. 40 ile -10 sayısını toplayın.

$$x=\frac{30}{10}$$

30 sayısını 10 ile bölün.

$$x=3$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-10±40}{10} denklemini çözün. 40 sayısını -10 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{50}{10}$$

-50 sayısını 10 ile bölün.

$$x=-5$$

Denklem çözüldü.

$$x=3 x=-5$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

Denklemin her iki tarafına 75 ekleyin.

$$5x^{2}+10x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

-75 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$5x^{2}+10x=-\left(-75\right)$$

-75 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$5x^{2}+10x=75$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{75}{5}$$

5 ile bölme, 5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{75}{5}$$

10 sayısını 5 ile bölün.

$$x^{2}+2x=\frac{75}{5}$$

75 sayısını 5 ile bölün.

$$x^{2}+2x=15$$

x teriminin katsayısı olan 2 sayısını 2 değerine bölerek 1 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına 1 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+2x+1^{2}=15+1^{2}$$

1 sayısının karesi.

$$x^{2}+2x+1=15+1$$

1 ile 15 sayısını toplayın.

$$x^{2}+2x+1=16$$

Faktör x^{2}+2x+1. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=16$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Sadeleştirin.

$$x+1=4 x+1=-4$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$x=3 x=-5$$