40x^2-14x+1=0 Denklemini Çözme

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

x için çözün

$$x=\frac{1}{10}=0,1$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 40x^{2}+ax+bx+1 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 40 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Çözüm, -14 toplamını veren çifttir.

$$a=-10 b=-4$$

40x^{2}-14x+1 ifadesini \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -1 10x çarpanlarına ayırın.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 4x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 4x-1=0 ve 10x-1=0 çözün.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 40, b yerine -14 ve c yerine 1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

-14 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

-4 ile 40 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

-160 ile 196 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

36 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

-14 sayısının tersi: 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

2 ile 40 sayısını çarpın.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{14±6}{80} denklemini çözün. 6 ile 14 sayısını toplayın.

$$x=\frac{20}{80}$$

20 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{20}{80} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{4}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{14±6}{80} denklemini çözün. 6 sayısını 14 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{8}{80}$$

8 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{8}{80} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{10}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$40x^{2}-14x=-1$$

Her iki tarafı 40 ile bölün.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

40 ile bölme, 40 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-14}{40} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{7}{20} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{7}{40} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{7}{40} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

-\frac{7}{40} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{1}{40} ile \frac{49}{1600} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

Faktör x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{7}{40} ekleyin.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$