4y^2-9y+2=0 Denklemini Çözme

$$4 y ^ { 2 } - 9 y + 2 = 0$$

y için çözün

$$y=\frac{1}{4}=0,25$$

$$y=2$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 4y^{2}+ay+by+2 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 8 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-8 -2,-4$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Çözüm, -9 toplamını veren çifttir.

$$a=-8 b=-1$$

4y^{2}-9y+2 ifadesini \left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -1 4y çarpanlarına ayırın.

$$4y\left(y-2\right)-\left(y-2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak y-2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(y-2\right)\left(4y-1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için y-2=0 ve 4y-1=0 çözün.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine -9 ve c yerine 2 değerini koyarak çözün.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

-9 sayısının karesi.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

-16 ile 2 sayısını çarpın.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

-32 ile 81 sayısını toplayın.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

49 sayısının karekökünü alın.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

-9 sayısının tersi: 9.

$$y=\frac{9±7}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$y=\frac{9±7}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak y=\frac{9±7}{8} denklemini çözün. 7 ile 9 sayısını toplayın.

$$y=\frac{16}{8}$$

16 sayısını 8 ile bölün.

$$y=2$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak y=\frac{9±7}{8} denklemini çözün. 7 sayısını 9 sayısından çıkarın.

$$y=\frac{2}{8}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{2}{8} kesrini sadeleştirin.

$$y=\frac{1}{4}$$

Denklem çözüldü.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Denklemin her iki tarafından 2 çıkarın.

$$4y^{2}-9y+2-2=-2$$

2 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4y^{2}-9y=-2$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4y^{2}-9y}{4}=-\frac{2}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{2}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-2}{4} kesrini sadeleştirin.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{1}{2}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{9}{4} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{9}{8} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{9}{8} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

-\frac{9}{8} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{1}{2} ile \frac{81}{64} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

Faktör y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Sadeleştirin.

$$y-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} y-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{9}{8} ekleyin.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$