4x-y=5text{and}5y-4x=7 Denklemini Çözme

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

x, y için çözün

$$x=2$$

$$y=3$$

Yerine Koyma Kullanan Adımlar

Yerine koyma yöntemini kullanarak bir çift denklemi çözmek için, önce ilk denklemi değişkenlerden biri için çözün. Daha sonra bu değişken için çıkan sonucu diğer denklemde yerine koyun.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Denklemlerden birini seçip x terimini eşitliğin sol tarafında yalnız bırakarak bu denklemi x için çözün.

$$4x-y=5$$

Denklemin her iki tarafına y ekleyin.

$$4x=y+5$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

\frac{1}{4} ile y+5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Diğer -4x+5y=7 denkleminde, x yerine \frac{5+y}{4} koyun.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

-4 ile \frac{5+y}{4} sayısını çarpın.

$$-y-5+5y=7$$

5y ile -y sayısını toplayın.

$$4y-5=7$$

Denklemin her iki tarafına 5 ekleyin.

$$4y=12$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$y=3$$

x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4} içinde y yerine 3 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

\frac{1}{4} ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{5}{4} ile \frac{3}{4} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x=2$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=2,y=3$$

Matrisleri Kullanan Adımlar

Denklemleri standart biçime dönüştürün ve sonra denklem sistemlerini çözmek için matrisleri kullanın.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Denklemleri matris biçiminde yazın.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Denklemin sol tarafını \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right) matrisinin tersi ile çarpın.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Bir matris ile tersinin çarpımı, birim matrisi verir.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Eşittir simgesinin sol tarafındaki matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matrisi \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) için ters matris \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ifadesidir, bu nedenle matris denklemi bir matris çarpımı problemi olarak yeniden yazılabilir.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matrisleri çarpın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Hesaplamayı yapın.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

x ve y matris öğelerini çıkartın.

$$x=2,y=3$$

Yok Etme Kullanan Adımlar

Yok etme yöntemiyle çözmek için değişkenlerden birinin katsayısı her iki denklemde de aynı olmalıdır, böylece bir denklem diğerinden çıkarıldığında bu değişkenler birbirini götürür.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

4x ve -4x terimlerini eşitlemek için ilk denklemin her iki tarafını -4 ile çarpın ve ikinci denklemin her iki tarafındaki tüm terimleri 4 ile çarpın.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Sadeleştirin.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Eşitliğin her iki tarafındaki benzer terimleri çıkararak -16x+20y=28 denklemini -16x+4y=-20 denkleminden çıkarın.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

16x ile -16x sayısını toplayın. -16x ve 16x terimleri birbirini götürerek denklemde çözülebilecek tek bir değişken bırakır.

$$4y-20y=-20-28$$

-20y ile 4y sayısını toplayın.

$$-16y=-20-28$$

-28 ile -20 sayısını toplayın.

$$-16y=-48$$

Her iki tarafı -16 ile bölün.

$$y=3$$

-4x+5y=7 içinde y yerine 3 koyun. Sonuçta elde edilen denklem yalnızca bir değişken içerdiğinden doğrudan x için çözebilirsiniz.

$$-4x+5\times 3=7$$

5 ile 3 sayısını çarpın.

$$-4x+15=7$$

Denklemin her iki tarafından 15 çıkarın.

$$-4x=-8$$

Her iki tarafı -4 ile bölün.

$$x=2$$

Sistem şimdi çözüldü.

$$x=2,y=3$$