4x^2-x-5=0 Denklemini Çözme

$$4 x ^ { 2 } - x - 5 = 0$$

x için çözün

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 4x^{2}+ax+bx-5 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -20 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Çözüm, -1 toplamını veren çifttir.

$$a=-5 b=4$$

4x^{2}-x-5 ifadesini \left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(4x-5\right)$$

4x^{2}-5x ifadesini x ortak çarpan parantezine alın.

$$x\left(4x-5\right)+4x-5$$

Dağılma özelliği kullanarak 4x-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(4x-5\right)\left(x+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 4x-5=0 ve x+1=0 çözün.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine -1 ve c yerine -5 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

-16 ile -5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 4}$$

80 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

81 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 4}$$

-1 sayısının tersi: 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{1±9}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{1±9}{8} denklemini çözün. 9 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{10}{8}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{10}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{5}{4}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{1±9}{8} denklemini çözün. 9 sayısını 1 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{8}{8}$$

-8 sayısını 8 ile bölün.

$$x=-1$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}-x-5=0$$

Denklemin her iki tarafına 5 ekleyin.

$$4x^{2}-x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}-x=-\left(-5\right)$$

-5 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$4x^{2}-x=5$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{5}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{5}{4}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{1}{4} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{8} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{8} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

-\frac{1}{8} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{5}{4}+\frac{1}{64}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{5}{4} ile \frac{1}{64} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{81}{64}$$

Faktör x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{9}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{9}{8}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{8} ekleyin.

$$x=\frac{5}{4} x=-1$$