4x^2-9x-9=0 Denklemini Çözme

$$4 x ^ { 2 } - 9 x - 9 = 0$$

x için çözün

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=3$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 4x^{2}+ax+bx-9 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-9 ab=4\left(-9\right)=-36$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -36 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Çözüm, -9 toplamını veren çifttir.

$$a=-12 b=3$$

4x^{2}-9x-9 ifadesini \left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 3 4x çarpanlarına ayırın.

$$4x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-3\right)\left(4x+3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-3=0 ve 4x+3=0 çözün.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine -9 ve c yerine -9 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

-9 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

-16 ile -9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+144}}{2\times 4}$$

144 ile 81 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

225 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±15}{2\times 4}$$

-9 sayısının tersi: 9.

$$x=\frac{9±15}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{9±15}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{9±15}{8} denklemini çözün. 15 ile 9 sayısını toplayın.

$$x=\frac{24}{8}$$

24 sayısını 8 ile bölün.

$$x=3$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{9±15}{8} denklemini çözün. 15 sayısını 9 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{6}{8}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-6}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Denklem çözüldü.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Denklemin her iki tarafına 9 ekleyin.

$$4x^{2}-9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}-9x=-\left(-9\right)$$

-9 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$4x^{2}-9x=9$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=\frac{9}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=\frac{9}{4}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{9}{4} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{9}{8} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{9}{8} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

-\frac{9}{8} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{9}{4}+\frac{81}{64}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{9}{4} ile \frac{81}{64} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{225}{64}$$

Faktör x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{15}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{15}{8}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{9}{8} ekleyin.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$