4x^2-7x+3=0 Denklemini Çözme

$$4 x ^ { 2 } - 7 x + 3 = 0$$

x için çözün

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 4x^{2}+ax+bx+3 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-7 ab=4\times 3=12$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 12 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Çözüm, -7 toplamını veren çifttir.

$$a=-4 b=-3$$

4x^{2}-7x+3 ifadesini \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right)$$

İlk grubu 4x, ikinci grubu -3 ortak çarpan parantezine alın.

$$4x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-1\right)\left(4x-3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-1=0 ve 4x-3=0 çözün.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 4, b yerine -7 ve c yerine 3 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

-7 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

-16 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

-48 ile 49 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

1 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 4}$$

-7 sayısının tersi: 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{7±1}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{7±1}{8} denklemini çözün. 1 ile 7 sayısını toplayın.

$$x=\frac{8}{8}$$

8 sayısını 8 ile bölün.

$$x=1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{7±1}{8} denklemini çözün. 1 sayısını 7 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{6}{8}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{6}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{3}{4}$$

Denklem çözüldü.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Denklemin her iki tarafından 3 çıkarın.

$$4x^{2}-7x+3-3=-3$$

3 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}-7x=-3$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=-\frac{3}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=-\frac{3}{4}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{7}{4} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{7}{8} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{7}{8} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

-\frac{7}{8} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{3}{4} ile \frac{49}{64} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{1}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{7}{8} ekleyin.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$