4x^2-5x+1=0 Denklemini Çözme

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

x için çözün

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 4x^{2}+ax+bx+1 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 4 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-4 -2,-2$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Çözüm, -5 toplamını veren çifttir.

$$a=-4 b=-1$$

4x^{2}-5x+1 ifadesini \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -1 4x çarpanlarına ayırın.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-1=0 ve 4x-1=0 çözün.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine -5 ve c yerine 1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

-5 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

-16 ile 25 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

9 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

-5 sayısının tersi: 5.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{5±3}{8} denklemini çözün. 3 ile 5 sayısını toplayın.

$$x=\frac{8}{8}$$

8 sayısını 8 ile bölün.

$$x=1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{5±3}{8} denklemini çözün. 3 sayısını 5 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{2}{8}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{2}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{4}$$

Denklem çözüldü.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}-5x=-1$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{5}{4} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{5}{8} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{5}{8} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

-\frac{5}{8} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{1}{4} ile \frac{25}{64} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Faktör x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{5}{8} ekleyin.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$