4x^2-4x+1=0 Denklemini Çözme

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

x için çözün

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 4x^{2}+ax+bx+1 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 4 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-4 -2,-2$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Çözüm, -4 toplamını veren çifttir.

$$a=-2 b=-2$$

4x^{2}-4x+1 ifadesini \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

İlk grubu 2x, ikinci grubu -1 ortak çarpan parantezine alın.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

İki terimli kare olarak yazın.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

Denklemin çözümünü bulmak için 2x-1=0 ifadesini çözün.

$$x=\frac{1}{2}$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 4, b yerine -4 ve c yerine 1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

-4 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

-16 ile 16 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

0 sayısının karekökünü alın.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

-4 sayısının tersi: 4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{4}{8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{4}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}-4x=-1$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

-4 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

x teriminin katsayısı olan -1 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{1}{4} ile \frac{1}{4} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

x^{2}-x+\frac{1}{4} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{2} ekleyin.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

Denklem çözüldü. Çözümleri aynı.

$$x=\frac{1}{2}$$