4x^2-14x=9 Denklemini Çözme

$$4 x ^ { 2 } - 14 x = 9$$

x için çözün

$$x = \frac{\sqrt{85} + 7}{4} \approx 4,054886114$$

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}\approx -0,554886114$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}-14x=9$$

Denklemin her iki tarafından 9 çıkarın.

$$4x^{2}-14x-9=9-9$$

9 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}-14x-9=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine -14 ve c yerine -9 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

-14 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

-16 ile -9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+144}}{2\times 4}$$

144 ile 196 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{340}}{2\times 4}$$

340 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

-14 sayısının tersi: 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} denklemini çözün. 2\sqrt{85} ile 14 sayısını toplayın.

$$x=\frac{2\sqrt{85}+14}{8}$$

14+2\sqrt{85} sayısını 8 ile bölün.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8} denklemini çözün. 2\sqrt{85} sayısını 14 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{14-2\sqrt{85}}{8}$$

14-2\sqrt{85} sayısını 8 ile bölün.

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}-14x=9$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=\frac{9}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=\frac{9}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-14}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{9}{4}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{7}{2} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{7}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{7}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

-\frac{7}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{4}+\frac{49}{16}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{9}{4} ile \frac{49}{16} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{85}{16}$$

Faktör x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{85}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{85}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{85}}{4}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{7}{4} ekleyin.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$