4x^2-12x-27=0 Denklemini Çözme

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

x için çözün

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 4x^{2}+ax+bx-27 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -108 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Çözüm, -12 toplamını veren çifttir.

$$a=-18 b=6$$

4x^{2}-12x-27 ifadesini \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 3 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-9 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 2x-9=0 ve 2x+3=0 çözün.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine -12 ve c yerine -27 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

-12 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

-16 ile -27 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

432 ile 144 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

576 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

-12 sayısının tersi: 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{12±24}{8} denklemini çözün. 24 ile 12 sayısını toplayın.

$$x=\frac{36}{8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{36}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{9}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{12±24}{8} denklemini çözün. 24 sayısını 12 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{12}{8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-12}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Denklemin her iki tarafına 27 ekleyin.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

-27 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

-27 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$4x^{2}-12x=27$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

-12 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

x teriminin katsayısı olan -3 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{3}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{3}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

-\frac{3}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{27}{4} ile \frac{9}{4} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Faktör x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Denklemin her iki tarafına \frac{3}{2} ekleyin.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$