4x^2-12x+9=0 Denklemini Çözme

$$4 x ^ { 2 } - 12 x + 9 = 0$$

x için çözün

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 4x^{2}+ax+bx+9 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-12 ab=4\times 9=36$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 36 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Çözüm, -12 toplamını veren çifttir.

$$a=-6 b=-6$$

4x^{2}-12x+9 ifadesini \left(4x^{2}-6x\right)+\left(-6x+9\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(-6x+9\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -3 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(2x-3\right)-3\left(2x-3\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-3\right)\left(2x-3\right)$$

İki terimli kare olarak yazın.

$$\left(2x-3\right)^{2}$$

Denklemin çözümünü bulmak için 2x-3=0 ifadesini çözün.

$$x=\frac{3}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}-12x+9=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 4, b yerine -12 ve c yerine 9 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

-12 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}$$

-16 ile 9 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 4}$$

-144 ile 144 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

0 sayısının karekökünü alın.

$$x=-\frac{-12}{2\times 4}$$

-12 sayısının tersi: 12.

$$x=\frac{12}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{12}{8}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{12}{8} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{3}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}-12x+9=0$$

Denklemin her iki tarafından 9 çıkarın.

$$4x^{2}-12x+9-9=-9$$

9 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}-12x=-9$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=-\frac{9}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

-12 sayısını 4 ile bölün.

$$x^{2}-3x=-\frac{9}{4}$$

x teriminin katsayısı olan -3 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{3}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{3}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

-\frac{3}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{9}{4} ile \frac{9}{4} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=0$$

Faktör x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{3}{2}=0 x-\frac{3}{2}=0$$

Denklemin her iki tarafına \frac{3}{2} ekleyin.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}$$

Denklem çözüldü. Çözümleri aynı.

$$x=\frac{3}{2}$$