4x^2-11x+30=16 Denklemini Çözme

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

x için çözün (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1.375+1.268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1.375-1.268611446i$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Denklemin her iki tarafından 16 çıkarın.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

16 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

16 sayısını 30 sayısından çıkarın.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 4, b yerine -11 ve c yerine 14 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

-11 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

-4 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

-16 ile 14 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

-224 ile 121 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

-103 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

-11 sayısının tersi: 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

2 ile 4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} denklemini çözün. i\sqrt{103} ile 11 sayısını toplayın.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} denklemini çözün. i\sqrt{103} sayısını 11 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Denklemin her iki tarafından 30 çıkarın.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

30 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

30 sayısını 16 sayısından çıkarın.

$$4x^{2}-11x=-14$$

Her iki tarafı 4 ile bölün.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

4 ile bölme, 4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-14}{4} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{11}{4} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{11}{8} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{11}{8} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

-\frac{11}{8} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{7}{2} ile \frac{121}{64} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{11}{8} ekleyin.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$